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您的位置网站首页>>数字电路>>2.4逻辑函数的化简
责任编辑:刘昆山

  一个逻辑函数的表示形式由多种。表达式越简单,对应的电路越简单,电路也更可靠、经济,所以我们要对函数化简。常用方法有代数化简法和卡诺图化简法。

一、逻辑函数的表示形式

 1.与或式和或与式
  一个由若干个与项相或构成的函数表达式称与或式。
   :F(A,B,C)=A+BC+A
  一个由若干个或项相与构成的函数表达式称或与式。
   :F(A,B,C)=(A+B)·(A+

 2.最小项和标准与或式
  一个由n变量构成的与项中,如果每个变量都以原变量或反变量形式在与项中出现且仅出现一次,这种与项称最小项
  一个n变量的逻辑函数与或式中,如果每个与项都是最小项,这样的与或式称标准与或式

  n=3 时,最小项的个数是 8,即C、……ABC
       用下标法表示为01、……7
  n=4 时,最小项的个数是 16,即D、……ABCD     
       用下标法表示为01、……15

  最小项的性质任意最小项,仅有一组变量的取值使之为1;
          任何两个最小项之积恒为0,即m·m≡0(j≠k);
                
  如F(A、B、C)=BC+A=m0+m3+m4
           = ∑m(0,3,4) 是标准与或式。
  它的真值表如下:

  由真值表也可推导出逻辑函数的标准与或式。 

 3.最大项和标准或与式
  一个由n变量构成的或项中,如果每个变量都以原变量、反变量形式在或项中出现且仅出现一次,这种或项称最大项
  一个n变量的逻辑函数或与式中,如果每个或项都由最大项构成,这样的或与式称标准或与式

  n=3时,最大项的个数是8,即A+B+C,A+B+,…,
       用下标法表示为 M0、M1、……、M7
  n=4时,最大项有16个,即A+B+C+D,A+B+C+,…,
       用下标法表示为 M0、M1、……、M15

  最大项的性质 对于某一最大项Mi,仅有一组变量的取值使之为0;
          任何两个最大项之和恒为1,即M+M≡1(i≠j);
           n个变量的函数的全体最大项之与恒为0。

  如F(A,B,C)=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)
           =M0·M4·M3=∏M(0,3,4)是标准或与式。

  由真值表可以推出标准或与式。

4.标准与或式和标准或与式间的关系:
  任一函数的标准与或式可以得到对应的标准或与式:
  如F(A,B,C)=∑m(1,3,5,7)=∏M(0,2,4,6),反之亦然。
  最大项和最小项之间的关系:
  M0=A+B+C=
       ·
       ·
       ·
  M7=

 5.最简表达式的基本形式:

  最简的含义是所含项数最少,且每项中所含变量最少。
  最简表达式的基本形式有五种:与或式、与非-与非式、与或非式、或与式、
或非-或非式。它们间的相互转换方法:

 ①与或式→与非-与非式:
  可以对与或式两次求反,再用反演律展开。
 ②与或式→或与式:
  先对F的与或式求反,得到的最简与或式,再对求反,展开后化简。 
 ③或与式→或非-或非式:
  对或与式两次求反,再用反演律展开。
 ④与或式→与或非式:
  先对F的与或式求反,得到的最简与或式,再对F求反。
 
二、逻辑函数的代数化简法

  对逻辑代数的基本定律、公式掌握的基础上可以将复杂的逻辑函数转化为最简式。常用的代数化简法如下:

 1.并项法:利用公式 AB+A=A 

 2.吸收法:利用公式 A+AB=A  
 3.消去法:利用公式 A+B=A+B  
 4.取消法:利用公式 AB+C+BC=AB+C  
 5.配项法:利用公式 A+=1 或加上多余项。 

三、逻辑函数的卡诺图化简法

  利用代数法化简逻辑函数,需要一定的技巧,难度较大。为此我们介绍卡诺图化简法,较容易得到最简式。

 1.卡诺图的构成:
  一个n变量的逻辑函数,全部最小项的个数应该有2个。卡诺图实质上是将代表全部最小项的2个小方格,按相邻原则排列构成的方块图。
  对于n=3,最小项有8个,对应8个小方块,排成二行四列的长方形。小方块所在的行和列上所标的“0”和“1”确定了对应变量的取值,它们均按循环码排列。行、列交叉点的小方块对应了一个最小项。 如下图:
   对于n=4,最小项有16个,对应16个小方块,排列成四行四列的正方形。如下图:

  如四行一列的小方块对应的最小项是A,即m8。
 2.逻辑函数在卡诺图中的表示
  前面介绍了n=3、4变量卡诺图的构成,它们是空的,并不代表任何逻辑函数。
  要将逻辑函数在卡诺图中表示出来,可先将该函数转换成标准与或式,然后画出相应变量数的空卡诺图,再向表达式中含有的最小项所对应的小方格中填入1,其余填上0,即可得到该函数所对应的卡诺图。
  可以直接从真值表得到函数的卡诺图,因为由真值表可以表示成标准与或式。
  任一与或式可以直接在卡诺图中表示:如F(A,B,C)=A+BC
只需将A=1且C=0对应的小方块填入1,再将B=C=1对应的小方块填入1,其余填0,即可。

 3.卡诺图化简逻辑函数的原理
  卡诺图化简逻辑函数的依据是并项公式AB+A=A。
  在卡诺图中有许多相邻小方块,它们对应的最小项可以合并。
  在三变量的卡诺图中,可以有二个、四个、八个“1”方块相邻,它们合并分别可以消去一个、二个、三个变量,从而达到化简的目的。
  在四变量的卡诺图中,可以有二个、四个、八个、十六个“1”方块相邻,它们合并分别可以消去一个、二个、三个、四个变量,从而达到化简的目的。
  总之,卡诺图中的2m个“1”方块构成的矩形区域,可以消去m个互反变量,从而合并成一项。

 4.用卡诺图化简逻辑函数的步骤

 ①将原始函数或真值表表示在卡诺图上,使卡诺图中对应函数最小项的所有小方块填入"1",其余可不填。 
 ②对卡诺图中的"1"方块画圈。画圈时注意规则
 ③将每个圈中互反变量消去,保留共同变量,得到对应的与项,最后将所有与项相或即可。
  
  注意
: 为了防止圈住多余的圈,可将只有一种圈法的“1”方块先圈住,再将剩下的
“1”方块按上述原则画圈。

 5.包含无关项的逻辑函数的化简:
  实际中,有些函数只与一部分最小项有关,而与另一部分最小项无关,这一部分与函数值无关的最小项称为无关项或约束项。这样的函数称包含无关项的逻辑函数。
  如在8421BCD码中有6种编码是不允许出现的:1010~1111,它们是8421BCD码的无关项。
  无关项用di表示。它们不可能使函数值为1,所以∑di=0。在逻辑函数中加上无关项不影响函数值,利用这点可以帮助逻辑函数化简。 

上一页: 2.3集成逻辑门电路
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2.5逻辑代数与逻辑门电路例题详解
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